Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц] - Беллюстин Всеволод Константинович

—Учитель: «24×26!»

—Ученикъ: «20×30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

— Учитель: «92 × 98!»

—Ученикъ «90 × 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секретъ, какъ видно, заключается въ томъ, что не всякій примѣръ годится для этого правила, а только такой, гдѣ бы десятки въ обоихъ множителяхъ были одинаковыми, а единицы составляли въ суммѣ десять; такъ что если взять одинъ множитель, наприм., 41, то парнымъ къ нему множителемъ обязательно долженъ быть 49. Правило для подобныхъ примѣровъ слѣдующее: надо десятки помножить на слѣдующіе десятки (40×50=2000), а единицы просто перемножить (1×9 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это далъ итальянецъ Тарталья (XVI в.), большой изобрѣтатель разныхъ способовъ, и письменныхъ, и устныхъ.

Объяснимъ послѣдній примѣръ: 41×49. Какъ бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потомъ 40 на 9, потомъ 1 на 40 и, наконецъ, 1 на 9. Намъ пришлось бы 40 повторить 40 разъ и 9 разъ и еще 1 разъ, потому что 1 × 40 все равно, что 40 × 1; такимъ образомъ 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные пріемы, дѣйствительно, даютъ при устномъ счетѣ громадную выгоду и удобство. Смѣло рекомендуемъ ихъ вниманію любителей ариѳметики.

Дѣленіе.

«Dura cosa e la partita»—звучитъ старинная итальянская поговорка, которая значитъ въ русскомъ переводѣ: «трудная вещь—дѣленіе». Не даромъ Лука де-Бурго, итальянскій математикъ XVI вѣка, утѣшаетъ начинающихъ учиться юношей и говоритъ, что «кто умѣетъ дѣлить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается въ дѣленіи». И нашъ Магницкій не отстаетъ въ этомъ случаѣ и тоже, кончивши дѣленіе, вздыхаетъ свободно и назидаетъ своихъ «мудролюбивыхъ отроковъ» стихами:

Первую часть докончившеИ вся въ цѣлыхъ изучивше,Ихъ въ памяти твердо держимъИ за та вся Бога блажимъ,Что даде намъ безъ напастиЗрѣти конецъ первой части.

Трудно дѣленіе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизмѣримо, безконечно труднѣе было оно въ старинныя времена и особенно въ началѣ среднихъ вѣковъ. Тогда изъ столкновенія римской и арабской учености не успѣло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кромѣ того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ дѣтей и требовалъ отъ нихъ нечеловѣческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать дѣленіе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ родѣ нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ дѣтямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ дѣйствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неумѣнье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное повѣрье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней успѣвать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. Смѣшно теперь слышать, что средневѣковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и дѣленія: вѣдь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школѣ и всякая дѣвочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Онѣ, конечно, нужны, но лишь въ такой мѣрѣ, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неуспѣха слѣдуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначалѣ, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вмѣсто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и дѣло пропало, при томъ пропало болѣе, чѣмъ въ какомъ бы то ни было другомъ предметѣ, потому что въ математикѣ все послѣдующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ дѣленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе дѣленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего замѣтимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его болѣе всего. Первые намеки на него мы можемъ видѣть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ болѣе ясной формѣ онъ встрѣчается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ нѣмецкой литературѣ можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотекѣ и принадлежащую къ XII вѣку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности здѣсь идетъ вычисленіе на абакѣ. Примѣръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.

Порядокъ дѣйствія, какъ видимъ, такой: подписавши дѣлителя и его высшій разрядъ, помѣщаемъ подъ нимъ дѣлимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ дѣлителѣ кромѣ 20000 есть еще другіе разряды, слѣд. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 2×4 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ послѣ высшаго разряда дѣлителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; далѣе множимъ на частное десятки дѣлителя, ихъ всего 2, 2×4=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 замѣнить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 3×4 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего послѣ дѣленія ииѣемъ въ остаткѣ 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ примѣрѣ мы наблюдаемъ ходъ дѣйствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что мѣста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены дѣлимое, дѣлитель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Слѣдующій разъ мы встрѣчаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежуткѣ между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII вѣка, вѣдь, очевидно, и тогда было дѣленіе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совсѣмъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX вѣка и въ началѣ его исчез, о немъ рѣчь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего дѣленія, который встрѣчается у Луки де-Бурго, итальянца. Раздѣлить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только дѣлитель и частное пишется вверху; а не сбоку.

3) Въ знаменитомъ трудѣ по ариѳметикѣ, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встрѣчается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).

Частное пишется въ самомъ верху. Цифры дѣлимаго не сносятся внизъ, но вмѣсто этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться въ цифрахъ. Оба разряда дѣлителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отдѣльно на частное и отдѣльно же вычитаются. Дѣлитель переписывается столько разъ, скодько разрядовъ въ частномъ. Здѣсь повторяется опять то же, что мы видѣли и въ умноженіи, гдѣ множитель переписывался нѣсколько разъ. Причина опять та же, что и въ умноженіи, и заключается она въ слѣдующемъ. Способъ Бэгаэддина получилъ начало, очевидно, еще тогда, когда вычисленія шли на абакѣ, покрытомъ пескомъ, и когда, слѣд., легко было дѣлителя стереть и его же переписать снова, расположивши снова подъ тѣми разрядамі, которые дѣлятся; съ теченіемъ времени абакъ былъ оставленъ, математики стали пользоваться бумагой, а между тѣмъ манера переписыванія все еще сохранилась и привела къ большимъ неудобствамъ, къ затратѣ лишняго труда, къ потерѣ времени и мѣста. Вотъ что значитъ инерція, не просвѣтленная лучами разума!